Consejos útiles

Esquema de Horner

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Secciones: Matemáticas

Objetivos de la lección:

  • Enseñar a los estudiantes a resolver ecuaciones de grados superiores utilizando el esquema de Horner,
  • para desarrollar la capacidad de trabajar en parejas,
  • crear, junto con las secciones principales del curso, una base para el desarrollo de las habilidades de los estudiantes,
  • ayudar al alumno a evaluar su potencial, desarrollar interés en las matemáticas, la capacidad de pensar, hablar sobre el tema.

Equipo tarjetas para trabajar en grupos, un póster con un diagrama de Horner.

Método de entrenamiento: conferencia, historia, explicación, implementación de ejercicios de entrenamiento.

Forma de control: comprobando tareas de soluciones independientes, trabajo independiente.

Leccion

1. Momento organizacional

2. Actualización del conocimiento del alumno

- ¿Qué teorema le permite determinar si un número es la raíz de una ecuación dada (formular un teorema)?

Teorema de Bezout. El resto de la división del polinomio P (x) por el xc de dos términos es igual a P (c), el número c se llama la raíz del polinomio P (x) si P (c) = 0. El teorema permite, sin realizar la operación de división, determinar si un número dado es la raíz de un polinomio.

- ¿Qué afirmaciones facilitan la búsqueda de raíces?

a) Si el coeficiente principal del polinomio es igual a la unidad, entonces las raíces del polinomio deben buscarse entre los divisores del término libre.

b) Si la suma de los coeficientes del polinomio es 0, entonces una de las raíces es 1.

c) Si la suma de los coeficientes en lugares pares es igual a la suma de los coeficientes en lugares impares, entonces una de las raíces es -1.

d) Si todos los coeficientes son positivos, entonces las raíces del polinomio son números negativos.

e) Un polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.

3. Aprendiendo nuevo material

Al resolver ecuaciones algebraicas completas, uno tiene que encontrar los valores de las raíces de los polinomios. Esta operación puede simplificarse enormemente si los cálculos se realizan de acuerdo con un algoritmo especial llamado esquema de Horner. Este esquema lleva el nombre del científico inglés William George Horner. El esquema de Horner es un algoritmo para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio P (x) por xc. Brevemente, cómo funciona.

Deje un polinomio arbitrario P (x) = a0x n + a1x n-1 + ... + an-1x + an. La división de este polinomio por xc es su representación en la forma P (x) = (xc) g (x) + r (x). Cociente g (x) = en0x n-1 + cnx n-2 + ... + cn-2x + bn-1donde en0= a0enn= svn-1 + an, n = 1,2,3, ... n-1. El resto r (x) = svn-1 + an . Este método de cálculo se llama esquema de Horner. La palabra "circuito" en el nombre del algoritmo está asociada con el hecho de que su ejecución generalmente se realiza de la siguiente manera. Primero dibuje la tabla 2 (n + 2). El número c se escribe en la celda inferior izquierda y los coeficientes del polinomio P (x) en la fila superior. En este caso, la celda superior izquierda se deja vacía.

SOLUCION DE ECUACIONES CUBICAS POR ESQUEMA DE CUERNO

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0

Primero necesitas encontrar una raíz por el método de selección. Por lo general, es un miembro divisor libre. En este caso, los divisores del número. 6 son ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ número 1 no la raíz del polinomio

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ número -1 no la raíz del polinomio

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ número 2 es la raíz del polinomio

Encontramos 1 de las raíces del polinomio. La raíz del polinomio es 2, lo que significa que el polinomio original debe dividirse por x - 2. Para realizar la división de polinomios, utilizamos el esquema de Horner:

4-19196
2

La línea superior contiene los coeficientes del polinomio original. En la primera celda de la segunda fila, la raíz que encontramos 2. La segunda línea contiene los coeficientes del polinomio que resultarán de la división. Se consideran de la siguiente manera:

4-19196
24
En la segunda celda de la segunda fila, escribe el número 1, simplemente moviéndolo desde la celda correspondiente de la primera fila.
4-19196
24-11
2 ∙ 4 - 19 = -11
4-19196
24-11-3
2 ∙ (-11) + 19 = -3
4-19196
24-11-30
2 ∙ (-3) + 6 = 0

El último número es el resto de la división. Si es 0, entonces todos calculamos correctamente.

Por lo tanto, factorizamos el polinomio original:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2) (4x 2 - 11x - 3)

Y ahora, todo lo que queda es encontrar las raíces de la ecuación cuadrática

4x 2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D> 0 ⇒ la ecuación tiene 2 raíces

Mira el video: MÉTODO DE HORNER 1 (Mayo 2022).

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