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MECÁNICA CUÁNTICA Lección 4: Oscilador armónico y relación de incertidumbre

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Anotación: estudiando el lado cualitativo de la solución de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico, aclarando las diferencias entre los resultados obtenidos y las conclusiones de la mecánica clásica. (Una presentación tradicional del tema, complementada con demostraciones en modelos de computadora).

Uno de los problemas importantes del movimiento de las micropartículas es el problema del movimiento de un oscilador armónico, un sistema capaz de realizar oscilaciones armónicas. La historia de la teoría cuántica realmente comienza con Max Planck, quien en 1900 recibió una fórmula para la descripción correcta de la distribución espectral de la radiación térmica. Planck concluyó que no podía proporcionar la conclusión de su fórmula mágica para la distribución de radiación, a menos que se hiciera una suposición, que desde un punto de vista filosófico consideraba casi inaceptable. Esta suposición era que los consideraba como emisores. osciladores armónicos debe poseer energías que no están distribuidas como variables continuas (lo que debería esperarse), pero que toman valores discretos y localizados regularmente. Los osciladores con una frecuencia υ deben tener valores de energía que sean múltiples, es decir n multiplicado por veces (donde n = 0.1, 2.3. ) a algo llamado la energía cuántica hυ.

Considerar unidimensional caso. (Los problemas tridimensionales son matemáticamente complejos, y casi todas las características fundamentales del movimiento de las micropartículas pueden identificarse en problemas unidimensionales). Cambio en la energía potencial a lo largo del eje x es descrito por la fórmula

¿Qué ejemplos del movimiento del mundo circundante se describen al menos aproximadamente por una función tan potencial?

  • Oscilaciones de un péndulo con una pequeña amplitud.
  • Otro ejemplo son las vibraciones verticales de un peso suspendido de un resorte.

En el mundo de las micropartículas, los ejemplos son vibraciones de una molécula diatómica o vibraciones de átomos en cristales. Esencial para todos los ejemplos es restricción de movimiento algún rango de valores x. Una partícula no puede dejar un potencial parabólico bien cuyos bordes se extienden hasta el infinito.

De la mecánica clásica se sabe que la proyección del movimiento de partículas en el eje x es una oscilación sinusoidal cerca de la posición de equilibrio x = 0 con una frecuencia:

Puntos a0 y -a0, en el que la energía total de la partícula E es igual a la energía potencial, son los puntos de inflexión de la partícula. La fórmula describe la densidad de probabilidad de detectar una partícula oscilante en diferentes puntos del eje x.

La probabilidad de encontrar una partícula cerca de la posición de equilibrio es mínima, donde se mueve a la velocidad máxima. Cerca de los puntos de inflexión, la partícula "cuelga", por así decirlo, y allí la probabilidad de detección es máxima.

Estimación de la energía mínima del oscilador.

Veamos qué conclusiones sobre la naturaleza del movimiento son conducidas por la mecánica cuántica. Comenzamos con una estimación simple de la energía mínima del oscilador E. La energía total del oscilador E es la suma de las energías cinética y potencial:

Usando la relación de incertidumbre de Heisenberg, tomamos p como una estimación del impulso p

Para valores pequeños de x, la energía cinética excede el potencial, mientras que para valores grandes de x, la relación inversa tiene lugar entre ellos. Para el estado fundamental, donde la energía es mínima, encontramos el mínimo de función (2). Valor Xmincorrespondiente al mínimo es:

y el valor de energía correspondiente E es del orden

Tenga en cuenta que estimar la energía del estado fundamental da distinto de cero(!) valor. Los cálculos simples ya conducen a un resultado no trivial.

Soluciones de la ecuación de Schrödinger

Encontrar la solución exacta requiere resolver la ecuación de Schrödinger con energía potencial (1), que tiene la forma

Las dificultades en la solución están relacionadas con el término que contiene x 2. Aquí están solo los resultados de los cálculos. El análisis muestra que, como en el caso de un pozo de potencial rectangular, las funciones de onda que son la solución a esta ecuación no serán continuas y finitas para todos los valores de la energía E, sino solo para discreto conjunto de valores:

donde n toma los valores 0, 1, 2. . Tenga en cuenta que los niveles de energía del oscilador armónico, en contraste con el caso de un pozo de potencial rectangular, se encuentran a la misma distancia de energía entre sí ΔE = hυ.

Una característica importante de la solución es la presencia de los llamados cero Oscilaciones: oscilaciones con energía correspondiente al valor del número cuántico n = 0. Una diferencia desde cero de la energía mínima del oscilador es característica de todos los sistemas cuánticos y es una consecuencia de la relación de incertidumbre (véase la estimación anterior). En los sistemas cuánticos reales, por ejemplo, los cristales, estas oscilaciones se conservan, como lo demuestra la experiencia, incluso a temperaturas cercanas al cero absoluto, cuando, aparentemente, todo movimiento térmico debería detenerse. Los experimentos sobre la dispersión de la luz por cristales a bajas temperaturas lo confirman. El papel de las vibraciones de punto cero también es excelente para explicar la naturaleza de las fuerzas de las interacciones moleculares (ejemplo a continuación) y otros fenómenos moleculares.

Las tres primeras funciones de onda del oscilador armónico se ven así:

La notación x se introduce aquí0 2 = h / (4π 2 mυ).

Los gráficos de estas funciones de onda se presentan en la figura a continuación.

Las líneas discontinuas muestran los límites entre los cuales oscilaría una partícula clásica. Valores A0 difieren para diferentes n, desde n depende de la energía E (

E 1/2). Obviamente, para valores pequeños del número cuántico n, la densidad de probabilidad de encontrar una partícula, determinada por el módulo al cuadrado de la función de onda ψ0(x) 2, es fundamentalmente diferente de la densidad de probabilidad de detectar un oscilador clásico: en el estado fundamental, el valor de probabilidad máximo cae en el centro, el módulo de la función de onda para todos los números cuánticos n tiene los mayores valores entre puntos de inflexión clásicos y "colas" exponencialmente decrecientes fuera de estos puntos.

Determinamos para el estado fundamental qué tan alta es la probabilidad P detección de partículas fuera de la región clásica, es decir fuera del área -a0 Modelo de oscilador cuántico

Modelo de computadoraModelo de computadora

Un modelo de computadora lo ayudará en el estudio de un oscilador cuántico. Ella las posibilidades: después de especificar el número de serie de los átomos de Z que forman la molécula (por defecto Z = 8), la computadora realizará los cálculos necesarios y estará lista para mostrar los valores de energía permitidos, las funciones de onda correspondientes y la distribución de densidad de probabilidad de la ubicación de la partícula a lo largo de la coordenada. Mueva el puntero a lo largo del eje de las energías (con el mouse o las teclas de flecha) y observe.

Definir:

  • cómo la densidad de los niveles depende de la masa de los átomos,
  • cómo la energía de las partículas depende del número cuántico n,
  • cómo la probabilidad de detectar una partícula depende de x, asegúrese de que la amplitud de las vibraciones de la partícula aumenta con su energía,
  • cómo la probabilidad de detectar una partícula fuera de la región clásica depende del número cuántico n. Para hacer esto, en el gráfico inferior, establezca la cruz al comienzo del área de integración, presione la tecla Intro y mueva la cruz al punto final. La computadora calculará el área bajo la curva, igual a la probabilidad de detectar una partícula en el rango de coordenadas elegido,

Estados de mezcla (principio de superposición)

Los objetos reales (átomos en una molécula, cristal) rara vez se encuentran en el estado fundamental. Debido, por ejemplo, a la excitación térmica, los estados con un número cuántico son reales n > 0. Una de las disposiciones más importantes de la mecánica cuántica es el principio de superposición. Dice: si una partícula cuántica puede estar en los estados descritos por las funciones Ψ1, Ψ2, . Ψn, entonces la combinación lineal (superposición) de funciones de onda Ψyo

donde conyo - constantes arbitrarias, también es una función de onda que describe uno de los posibles estados de la partícula. Probabilidades conyo cambiar con el tiempo El principio de incertidumbre ΔtΔE> h / 2π no permite determinar la dependencia temporal de estos coeficientes para un oscilador particular (sin embargo, es posible obtener valores promedio para un gran número de osciladores).

Para oscilador armónico interesante Un conjunto de estados que minimiza la relación de incertidumbre coordenada-momento, es decir el trabajo ΔpΔx = h / 2π. Fue construido por primera vez por Schrödinger en 1926. La función de onda Ψ (x, t) puede expandirse en las funciones de onda de los estados estacionarios del oscilador

Los coeficientes de esta descomposición.

La probabilidad de que el oscilador esté en un estado con un número cuántico n es igual a

es decir dada por la distribución de Poisson. La función de onda Ψ (x, t) representa un paquete de onda no expandible. Centro de paquetes se mueve de acuerdo con la ley clásica, el ancho del paquete no depende del tiempo.

Estas condiciones se llaman coherenteya que se usan para describir las propiedades coherentes de la radiación electromagnética en la teoría cuántica de campos (R. Glauber, Premio Nobel 2005, texto de una conferencia Nobel, 269 kb). Se puede demostrar que un campo electromagnético libre es equivalente a un conjunto infinito de osciladores armónicos independientes.

Las propiedades de los estados coherentes de un oscilador armónico se pueden entender mejor utilizando modelo de computadora (autor L. Kocbach).

Cálculo de promedios

Usando funciones de onda, uno puede encontrar el valor promedio de cualquier valor (si en principio puede medirse experimentalmente). La cantidad | ψ (x) | 2 dx es la probabilidad de encontrar una partícula en el intervalo dx. En el caso de observaciones repetidas de la partícula | ψ (x) | 2 dx es la fracción de partículas que estaban en este intervalo, es decir | ψ (x) | 2 es una función de distribución de coordenadas. Al usarlo, encontramos que el valor promedio de la coordenada

Del mismo modo, el valor promedio de cualquier función de coordenadas se encuentra, por ejemplo, para la energía potencial que tenemos

En estas fórmulas, para calcular el valor promedio, multiplicamos el valor de la función en el punto x por la probabilidad de encontrar una partícula cerca de x y sumamos todos los valores posibles de x. Como ejemplo, encontramos estas cantidades para el estado fundamental de un oscilador armónico

porque debajo de la integral hay una función impar, y

El valor promedio de la energía potencial es igual a la mitad de la energía total de este estado.

La regla para calcular la energía cinética promedio es diferente de la anterior, porque La energía cinética es una función del momento p, no de la coordenada x:

Para el estado fundamental de un oscilador armónico

es decir Hemos demostrado que para el estado fundamental de un oscilador armónico, los valores promedio de la energía potencial y la energía cinética son iguales entre sí y constituyen la mitad de la energía total del oscilador. Se puede demostrar que esta afirmación será verdadera para cualquier otro estado de un oscilador armónico cuántico. El valor promedio de la energía potencial aumenta con el aumento n, ya que para valores grandes n la función ψ (x) es notablemente diferente de cero en aquellas regiones del eje x donde aumenta el potencial U (x). Presta atención a esto cuando experimentes con un modelo de computadora.

La energía de radiación en la transición de un estado a otro es igual a

El conjunto de niveles de energía igualmente espaciados del oscilador armónico (3) a primera vista significa que el oscilador puede absorber y emitir radiación con una frecuencia múltiplo de υ, es decir kυ, donde k es la diferencia de los números cuánticos de los niveles inicial y final del oscilador. Sin embargo, este no es el caso. El análisis exacto muestra que si

donde nym son números cuánticos de los estados inicial y final, el valor promedio de la coordenada no cambia en el tiempo, y tales transiciones están prohibidas.

Verifiquemos que esta condición se cumpla para un oscilador armónico. Deje n = 1 ym = 0. Omitiendo las constantes, para la integral obtenemos la expresión

porque debajo de la integral hay una función par. Si ponemos n = 2, m = 1,

por el mismo motivo Se permiten las transiciones entre los niveles adyacentes 0↔1 y 1↔2. Consideremos ahora la transición entre los estados n = 0 ym = 2. La integral correspondiente tiene la forma

dado que la función debajo de la integral es impar, y los límites son simétricos con respecto a x = 0. Por lo tanto, las transiciones 0↔2 están prohibidas. Las características de emisión y absorción de radiación electromagnética por un oscilador armónico son tales que solo son posibles las transiciones entre niveles adyacentes. Δn = ± 1. Esta es una regla de selección para un oscilador armónico.

Oscilador armónico 3D

En el caso general, la energía potencial se expresa como la suma

La ecuación de Schrödinger permite la separación de variables. Si buscamos una solución en la forma ψ (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z), obtenemos tres ecuaciones diferenciales que coinciden en apariencia con unidimensional. Para el caso isotrópico (kx = ky = kz = k) los valores de energía son

¿Dónde están los números cuánticos? n1, n2 y n3 ejecutar a través de valores de 0 ad infinitum. Como en el problema unidimensional, hay una discreción de los valores de energía que no es igual a cero energía cero. Pero en el caso tridimensional, la solución está determinada tres Números cuánticos. Y una característica: diferentes estados para los que se cumple la condición pueden tener el mismo valor de energía n1+n2+n3 = const. Tales condiciones se llaman degenerar.

La interacción de dos osciladores.

Existencia cero La energía (fórmula (3) en n = 0) jugó un papel importante en la explicación de un fenómeno tan misterioso como la interacción interatómica en gases nobles. Dado que esta interacción se manifiesta en la ecuación de estado de van der Waals para gases reales

se llama van der Waals. Si las moléculas (átomos) tienen un momento dipolar, entonces su atracción se debe a la interacción de los dipolos (un hecho investigado cualitativa y cuantitativamente). Pero moléculas neutras con simétrica estado latente la distribución de carga puede interactuar solo cuando las cargas cambian, causando la aparición de un momento dipolar. Tal cambio surge cuando las oscilaciones de punto cero con energía hυ / 2 no desaparecen bajo ninguna condición. La aparición de un momento dipolar en una molécula induce un momento dipolar en otra. La interacción de estos momentos que cambian rápidamente y causa atracción.

Como modelo simple, consideramos dos osciladores lineales ubicados a una distancia R entre sí y que oscilan a lo largo de una línea recta que los conecta. Se supone que las cargas positivas son fijas, x1 y x2 - el desplazamiento de partículas negativas (electrones) desde la posición de equilibrio.

En falta de un segundo (o en R muy grande), la energía potencial de cada oscilador se puede calcular mediante la fórmula (1), y la frecuencia de oscilación se denota por υ0

La energía de interacción de dos dipolos según la ley de Coulomb es igual a

Los primeros dos términos describen la repulsión de las mismas cargas de dipolos diferentes, y los segundos dos describen la atracción. Siempre R >> x1 y R >> x2. Por lo tanto, expandimos las fracciones en filas y, manteniendo tres términos de la expansión, obtenemos

La energía total de dos osciladores que interactúan es igual (aquí p es el momento del electrón)

la expresión de energía total se reduce a

representando la suma de las energías de dos osciladores independientes con frecuencias ligeramente diferentes

Como hemos visto, la energía de estos osciladores tiene valores cuantificados (ver (3) arriba) y, por lo tanto, la energía total de nuestro sistema será

y para el estado fundamental (n1 = 0 yn2 = 0)

Ahora debemos tener en cuenta que los segundos términos debajo de las raíces son mucho más pequeños que los primeros (la conexión de un electrón con su núcleo es mucho más fuerte que la conexión de los osciladores). Expandimos las raíces cuadradas en series de potencia y nos restringimos a tres términos en la expansión. Le dará

La última expresión es igual al doble de la energía de un oscilador aislado. menos Poca energía. Como el aditivo es negativo, la energía total de los osciladores que interactúan es menor que la energía de los aislados, para romper el enlace, la energía para gastar! Y, tenga en cuenta, la energía de enlace disminuye muy rápidamente con la distancia

No seria fluctuaciones cero (efecto puramente cuántico), no habría un enlace de moléculas en el estado fundamental.

Oscilador anarmónico

Oscilador armónico - idealización. Dependencias reales U (x) se parece a la imagen de la derecha. Una parábola (curva discontinua) es una buena aproximación solo para pequeñas vibraciones cerca de la posición de equilibrio. Para oscilaciones de gran amplitud, la fórmula (3) no es adecuada, los intervalos entre los niveles de energía superiores e inferiores no son los mismos. Para niveles superiores de energía En el pozo potencial es más amplio que la parábola y, por lo tanto, los intervalos entre estos niveles son menores que los intervalos entre los niveles inferiores.

Para resumir:

  • la energía del estado fundamental de la partícula no es cero,
  • La energía de las partículas se cuantifica y su valor crece linealmente con n,
  • La probabilidad de detectar una partícula varía de un punto a otro,
  • en el caso tridimensional, el mismo valor energético (degeneración) puede corresponder a diferentes estados,
  • cero vibraciones explican el origen de las fuerzas de atracción entre los átomos de gases inertes,
  • para un oscilador anarmónico, los niveles no son equidistantes y la regla de selección Δn = ± 1 roto
  • si el valor del número cuántico n hasta el infinito, la solución entra en lo clásico.

Si tienes alguna pregunta, escríbeme.

Oscilador armónico cuántico

Oscilador armónico en mecánica cuántica, se considera un análogo cuántico de un oscilador armónico simple, y no se consideran las fuerzas que actúan sobre la partícula, sino el hamiltoniano, es decir, la energía total del oscilador armónico, y se supone que la energía potencial depende cuadráticamente de las coordenadas. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

H ^ = p ^ 2 2 m + m ω 2 q ^ 2 2 <displaystyle !<hat >=<frac <<hat

>^<2>><2m>>+<frac <hat >^<2>><2>>>

В координатном представлении p ^ = − i ℏ ∂ / ∂ x <displaystyle <hat

>=-ihbar partial /partial x> , q ^ = x <displaystyle <hat >=x> . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

− ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x ) + m ω 2 x 2 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) <displaystyle -<frac <hbar ^<2>><2m>><frac <partial ^<2>><partial x^<2>>>psi (x)+<frac x^<2>><2>>psi (x)=Epsi (x)>

Для E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) , n = 0 , 1 , 2 , … <displaystyle E_=hbar omega left(n+<1 over 2> ight) , n=0,1,2,ldots >

решение имеет вид:

ψ n (x) = 1 2 n n! ⋅ (m ω π ℏ) 1/4 ⋅ exp ⁡ (- m ω x 2 2 ℏ) ⋅ H n (m ω ℏ x), < displaystyle psi _(x) = < frac <1> < sqrt <2 ^n! >>> cdot left (< frac < pi hbar >> right) ^ <1/4> cdot exp left (- < frac > <2 hbar >> right) cdot H_ left (< sqrt < frac >>x ight),>

funciones H n < displaystyle ! H_> - Polinomios de Hermite:

H n (x) = (- 1) n e x 2 d n d x n e - x 2 < displaystyle H_(x) = (- 1) ^e ^> < frac <>><>>> e ^ <- x ^ <2> >>

Este rango de valores E merece atención por dos razones: en primer lugar, los niveles de energía son discretos y igualmente espaciado (equidistante), es decir, la diferencia de energía entre dos niveles vecinos es constante e igual a ℏ ω < displaystyle hbar omega>, y en segundo lugar, el valor de energía más pequeño es ℏ ω / 2 < displaystyle hbar omega / 2>. Este nivel se llama el principal, aspiradorao nivel de fluctuaciones cero.

Operadores de nacimiento y aniquilación

Se puede obtener un espectro mucho más simple de un oscilador armónico utilizando los operadores de nacimiento y destrucciónconjugado el uno al otro.

El operador de nacimiento es un ^ + < displaystyle < hat> ^ <+ >>, el operador de muerte es un ^ < displaystyle < hat >>, su interruptor es

= a ^ a ^ + - a ^ + a ^ = i ℏ (p ^ q ^ - q ^ p ^) = 1 < displaystyle [< hat>, < hat> ^ <+>] = < hat > < hat> ^ <+> - < hat> ^ <+> < hat> = < frac < hbar >> (< hat

> < sombrero > - < sombrero > < sombrero

>)=1>

Usando los operadores de creación y aniquilación, el hamiltoniano de un oscilador cuántico se escribe en una forma compacta:

donde n ^ = a ^ + a ^ < displaystyle ! < hat > = < hat> ^ <+> < hat >> - operador del número de nivel (números de relleno). Los vectores propios de tal Hamiltoniano son estados de Fock, y la representación de la solución del problema en esta forma se denomina "representación del número de partículas".

Oscilador anarmónico

Por oscilador anarmónico se entiende un oscilador con una dependencia no cuadrática de la energía potencial en la coordenada. La aproximación más simple del oscilador anarmónico es la aproximación de la energía potencial al tercer término en la serie de Taylor:

H ^ = p ^ 2 2 m + 1 2 m ω 2 q ^ 2 + λ q ^ 3 < displaystyle < hat > = << sombrero

> ^ <2> over 2m> + <1 over 2> m omega ^ <2> < hat > ^ <2> + lambda < hat >^<3>>

La solución exacta del problema del espectro de energía de dicho oscilador es bastante laboriosa, sin embargo, es posible calcular las correcciones a la energía si suponemos que el término cúbico es pequeño en comparación con el cuadrático y usamos la teoría de la perturbación.

En la representación de los operadores de creación y aniquilación (la representación de la segunda cuantización), el término cúbico es

λ (ℏ 2 m ω) 3 2 (a ^ + a ^ +) 3. < displaystyle lambda left (< hbar over 2m omega> right) ^ <3 over 2> (< hat> + < hat> ^ <+>) ^ <3>.>

Este operador tiene elementos diagonales cero y, por lo tanto, la primera corrección de la teoría de perturbación está ausente. Segunda corrección a la energía del arbitrario. sin vacío estado | ψ E⟩ < displaystyle left | psi _ right rangle> es igual

Δ E (2) = λ 2 ⟨ψ E | q 3 1 E - ℏ ω / 2 q 3 | ψ E⟩. < displaystyle Delta E ^ <(2)> = lambda ^ <2> left langle psi _ right | q ^ <3> <1 sobre E- hbar omega / 2> q ^ <3> left | psi _ right rangle.>

Oscilador cuántico multipartícula

En el caso más simple de la interacción de varias partículas, podemos aplicar el modelo de un oscilador cuántico de muchas partículas, lo que implica la interacción de las partículas vecinas de acuerdo con una ley cuadrática:

H ^ = ∑ i = 1 N p ^ i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ i j N (q ^ i - q ^ j) 2 < displaystyle < hat > = sum _^<< hat

>_^ <2> over 2m> + <1 over 2> m omega ^ <2> sum _

Aquí debajo de q ^ i < displaystyle < hat >_> y p ^ i < displaystyle < hat

>_> implica una desviación de la posición de equilibrio y el impulso de la partícula i < displaystyle ! i>. La suma se lleva a cabo solo en partículas vecinas.

Tal modelo conduce a la justificación teórica de los fonones: cuasipartículas de Bose observadas en un sólido.

Transiciones bajo la influencia de la fuerza externa.

Bajo la influencia de una fuerza externa f (t) < displaystyle ! F (t)> un oscilador cuántico puede transferir de un nivel de energía (n < displaystyle n>) a otro (m < displaystyle m>). La probabilidad de esta transición es W n, m (t) < displaystyle ! W_(t)> para un oscilador sin atenuación viene dada por la fórmula:

W n, m (t) = n! m! El | δ | 2 (n - m) e x p (- | δ 2 | (L n m - n (| δ | 2)) 2) < displaystyle W_(t) = < frac > | delta | ^ <2 (n-m)> exp (- | delta ^ <2> | left (L_^(| delta | ^ <2>) right) ^ <2>)>,

donde la función δ (t) < displaystyle delta (t)> se define como:

δ (t) = - i l ℏ ∫ 0 t f (τ) e x p (i ω τ) d τ < displaystyle delta (t) = - il hbar int limits _ <0> ^> ,

y L m m - n < displaystyle L_^> - Polinomios de Lagerra.

Literatura

Landau, L.D., Lifshits, E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). - 3ª edición, revisada y complementada. - M .: Nauka, 1974.- 752 p. - ("Física teórica", Volumen III).

Oscilador Armónico (en mecánica clásica): un sistema que, cuando se retira de su posición de equilibrio, experimenta la acción de una fuerza restauradora F proporcional al desplazamiento x :

F = - k x < displaystyle F = -kx>,

donde k Es un coeficiente constante.

Si F - la única fuerza que actúa sobre el sistema, el sistema se llama simple o oscilador armónico conservador. Las vibraciones libres de dicho sistema son movimientos periódicos alrededor de la posición de equilibrio (vibraciones armónicas). La frecuencia y la amplitud son constantes, y la frecuencia no depende de la amplitud.

Si también hay una fuerza de fricción (atenuación) proporcional a la velocidad de movimiento (fricción viscosa), entonces dicho sistema se llama desvanecimiento o oscilador disipativo. Si la fricción no es demasiado grande, entonces el sistema realiza un movimiento casi periódico: oscilaciones sinusoidales con una frecuencia constante y una amplitud exponencialmente decreciente. La frecuencia de las oscilaciones libres de un oscilador amortiguado es ligeramente menor que la de un oscilador similar sin fricción.

Si el oscilador se deja en sus propios dispositivos, entonces dicen que oscila libremente. Si hay una fuerza externa (dependiendo del tiempo), dicen que el oscilador experimenta oscilaciones forzadas.

Ejemplos mecánicos de un oscilador armónico son un péndulo matemático (con pequeños ángulos de desviación), una carga en un resorte, un péndulo de torsión y altavoces. Entre los análogos no mecánicos de un oscilador armónico, se puede distinguir un oscilador armónico eléctrico (ver circuito LC).

La mecánica cuántica es una sección de física teórica que describe fenómenos físicos en los que la acción es comparable en magnitud a la constante de Planck. Las predicciones de la mecánica cuántica pueden diferir significativamente de las predicciones de la mecánica clásica. Dado que la constante de Planck es extremadamente pequeña en comparación con la acción de los objetos durante el movimiento macroscópico, los efectos cuánticos se manifiestan principalmente a escala microscópica. Si la acción física del sistema es mucho mayor que la constante de Planck, la mecánica cuántica se transforma orgánicamente en mecánica clásica. A su vez, la mecánica cuántica es una aproximación no relativista (es decir, una aproximación de bajas energías en comparación con la energía en reposo de partículas masivas de un sistema) de la teoría del campo cuántico.

La mecánica clásica, que describe bien los sistemas de escala macroscópica, no puede describir todos los fenómenos a nivel de moléculas, átomos, electrones y fotones. La mecánica cuántica describe adecuadamente las propiedades básicas y el comportamiento de los átomos, iones, moléculas, materia condensada y otros sistemas con una estructura nuclear electrónica. La mecánica cuántica también puede describir: el comportamiento de los electrones, los fotones y otras partículas elementales, sin embargo, una descripción más precisa y relativista invariante de las transformaciones de las partículas elementales se construye en el marco de la teoría cuántica de campos. Los experimentos confirman los resultados obtenidos utilizando la mecánica cuántica.

Los conceptos básicos de la cinemática cuántica son los conceptos de observable y de estado.

Las ecuaciones básicas de la dinámica cuántica son la ecuación de Schrödinger, la ecuación de von Neumann, la ecuación de Lindblad, la ecuación de Heisenberg y la ecuación de Pauli.

Las ecuaciones de la mecánica cuántica están estrechamente relacionadas con muchas ramas de las matemáticas, que incluyen: teoría del operador, teoría de la probabilidad, análisis funcional, álgebras de operadores, teoría de grupos.

Cuerda cuántica: en la teoría de cuerdas, objetos unidimensionales infinitamente delgados de 10–35 m de largo, cuyas vibraciones reproducen toda la variedad de partículas elementales. La naturaleza de las vibraciones de la cuerda establece las propiedades de la materia, como la carga eléctrica y la masa.

En física de materia condensada alambre cuántico - Este es un cable eléctricamente conductor en el que los efectos cuánticos influyen en los fenómenos de transporte. Debido a restricciones cuánticas en los electrones de conducción en la dirección transversal del cable, su energía transversal se cuantifica mediante una serie de valores discretos: E 0 < displaystyle E_ <0>> (energía del "estado fundamental" con el valor más bajo), E 1 < displaystyle E_ <1>>. (Ver oscilador armónico cuántico). Una de las consecuencias de esta cuantización es que la fórmula clásica para calcular la resistencia eléctrica de un cable:

no es válido para un cable cuántico (donde: ρ < displaystyle rho> es resistividad, l < displaystyle l> es longitud, A < displaystyle A> es el área de la sección transversal del cable).

En cambio, para calcular la resistencia del cable, se debe realizar un cálculo preciso de la energía transversal de los electrones en un espacio confinado. Debido a la naturaleza discreta de la energía electrónica, la resistencia calculada también se cuantificará.

La influencia de los efectos cuánticos y la importancia de la cuantización aumenta inversamente con el diámetro del nanocable para un material dado. Si comparamos varios materiales, la importancia de la cuantización depende de sus propiedades electrónicas, en particular de la masa efectiva de electrones. En pocas palabras, esto significa que la importancia dependerá de cómo interactúan los electrones de conducción con los átomos dentro de un material dado. En la práctica, los semiconductores comienzan a exhibir un claro efecto de cuantificación de la conductividad en dimensiones transversales suficientemente grandes del cable (100 nm), ya que sus niveles electrónicos aumentan debido a limitaciones espaciales incluso con tales parámetros. Como resultado, aumenta la longitud de onda de Fermi de los electrones y se produce la división en niveles de energía con una energía suficientemente baja. Esto significa que pueden ocurrir solo a temperaturas criogénicas (varios grados Kelvin), cuando la energía térmica de excitación es menor que la energía de las transiciones entre estados.

La rotación de Wick es un método para resolver problemas en el espacio de Minkowski resolviendo un problema conectado en el espacio euclidiano, utilizando análisis complejos, en particular, el concepto de continuación analítica. El nombre de Giancarlo Vic.

La representación de Heisenberg es una forma de describir los fenómenos de la mecánica cuántica en los que la evolución del sistema se describe mediante la ecuación de Heisenberg y está determinada solo por el desarrollo de operadores en el tiempo, y el vector de estado no depende del tiempo.

En representación de espacio de fase la mecánica cuántica interpreta de manera uniforme tanto las coordenadas como los momentos de las partículas que forman el espacio de fase, en contraste con el tratamiento de Schrödinger, donde la coordenada o representaciones de impulsos (ver espacios de coordenadas e impulsos [en]). Dos elementos clave de la imagen física en la representación del espacio de fase son los siguientes: se describe el estado cuántico distribución cuasi-probabilidad (en lugar de la función de onda, vectores de estado o matriz de densidad), y el operador de multiplicación se reemplaza producto estrella.

La teoría fue desarrollada completamente por Hilbrand Grunevold en 1946 en su disertación de doctorado e independientemente por Joe Moyale. Cada uno de estos trabajos se basó en ideas anteriores formuladas por Hermann Weil y Eugene Wigner.

La principal ventaja de la mecánica cuántica en la representación del espacio de fase es que hace que la mecánica cuántica sea similar a la mecánica hamiltoniana, evitando el formalismo de los operadores y, por lo tanto, "aliviando" la cuantización de la "carga" del espacio de Hilbert. Esta formulación es de naturaleza estadística y ofrece conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica, lo que permite una comparación natural entre ellas en el llamado límite clásico, es decir, como ℏ → 0 < displaystyle hbar rightarrow 0>. La mecánica cuántica en el espacio de fase a menudo aparece en ciertas aplicaciones de la óptica cuántica (ver espacio de fase óptico [en]), cuando se estudia la decoherencia y una serie de problemas técnicos especiales, aunque este formalismo rara vez se usa en la práctica.

Las ideas conceptuales que subyacen al desarrollo de la mecánica cuántica en el espacio de fase están incorporadas en ramas matemáticas, como la teoría algebraica de la deformación (ver la fórmula de cuantificación de Kontsevich [en]) y la geometría no conmutativa.

El estado de Fock es un estado de mecánica cuántica con un número de partículas definido con precisión. El nombre del físico soviético V.A. Fock.

Unidimensional, excluyendo giro Multidimensional sin giros Giro a medida

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